数学悖论-数学悖论的危害

三次数学危机第一次数学危机古希腊的毕达哥拉斯学派。他们认为“万物皆数”，认为数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。数学的知识是由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。毕达哥拉斯的数是指整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了勾股定理。他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。

这样一来，就否定了毕达哥拉斯学派的信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。不可通约性的发现引起第一次数学危机。第一次危机的产物—古典逻辑与欧氏几何学第二次数学危机古希腊的数学中除了整数之外，并没有无理数的概念，连有理数的运算也没有，可是却有量的比例。希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓“穷竭法”。

它依靠间接的证明方法，证明了许多重要而难证的定理。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于：1，把各种问题的解法统一成一种方法，微分法和积分法；2，有明确的计算微分法的步骤；3．微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用范围的广泛性，使微积分成为解决问题的重要工具。同时关于微积分基础的问题也越来越严重。以求速度为例，瞬时速度是ΔsΔt当Δt趋向于零时的值。

Δt是零、是很小的量，还是什么东西，这个无穷小量究竟是不是零。这引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。柯西在年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。

他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。在这些数学工作的基础上，维尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的εδ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上，从而克服了危机和矛盾。

第三次数学危机经过第一、二次数学危机，人们把数学基础理论的无矛盾性，归结为集合论的无矛盾性，集合论已成为整个现代数学的逻辑基础，数学这座富丽堂皇的大厦就算竣工了。看来集合论似乎是不会有矛盾的，数学的严格性的目标快要达到了，数学家们几乎都为这一成就自鸣得意。英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素（—）即宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称“罗素悖论”。

罗素悖论的发现，无异于晴天劈雳，把人们从美梦中惊醒。罗素悖论以及集合论中其它一些悖论，深入到集合论的理论基础之中，从而从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性。于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次危机。第三次数学危机的产物——数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。

由于他们解决问题的出发点不同，所遵循的途径不同，所以在本世纪初就形成了不同的数学哲学流派，这就是以罗素为首的逻辑主义学派、以布劳威尔（—）为首的直觉主义学派和以希尔伯特为首的形式主义学派。这三大学派的形成与发展，把数学基础理论研究推向了一个新的阶段。三大学派的数学成果首先表现在数理逻辑学科的形成和它的现代分支——证明论等——的形成上。

集合论悖论

“Ｒ是所有不包含自身的集合的集合。”

人们同样会问：“Ｒ包含不包含Ｒ自身？”如果不包含，由Ｒ的定义，Ｒ应

属于Ｒ。如果Ｒ包含自身的话，Ｒ又不属于Ｒ。

继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，１９３１年歌德尔（

，１９０６－１９７８，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了十

九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指

出：任何公设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的

命题。例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否定产生了几种非欧几何；

罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。

书目悖论

一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名

的书。那么它列不列出自己的书名？

这个悖论与理发师悖论基本一致。

苏格拉底悖论

有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底（Ｓｏｃｒａｔｅｓ，公元前４７０

－前３９９）是古希腊的大哲学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家

相对。他建立“定义”以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。但是

他的道德观念不为希腊人所容，竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普

洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后，苏格拉底也被处以死刑，但是他的学说

得到了柏拉图和亚里斯多德的继承。

苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。”

这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不

知道。古代中国也有一个类似的例子：

“言尽悖”

这是《庄子齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道：如果“言尽悖”，庄

子的这个言难道就不悖吗？我们常说：

“世界上没有绝对的真理”我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。

“荒谬的真实”

有字典给悖论下定义，说它是“荒谬的真实”，而这种矛盾修饰本身也是一

种“压缩的悖论”。悖论（ｐａｒａｄｏｘ）来自希腊语“＋”，意

思是“多想一想”。

从字面上讲就是自相矛盾，讲不通，说不明的荒谬理论。但悖论并非无稽之谈，它在荒诞中蕴含着哲理，给人以启迪。沿着它所指引的推理思路，你会感到走上了一条繁花似锦的羊肠小道，开始觉得顺理成章，而后会不知不觉陷入自相矛盾的泥潭。一旦将矛盾揭破，又令人回味无穷，感到滑稽可笑。经过认真的思考，又提高了人们认识问题的能力。

有人把悖论分为两类。一类是逻辑和数学型悖论，是由逻辑和数学中的概念构成的。另一类是语文学悖论，是由命名和真、假等概念构成的。在数学研究中更注重第一类悖论。这类悖论的通常形式是如果承认某命题正确，就会推出它是错误的如果认为不正确，就会推出它是正确的。

现在用一个最简单的“说谎者悖论”作例子，这是公元前4世纪希腊哲学家欧几里得提出来的。

原命题为“我正在说的这句话是谎话。”

如果你认为他说的话是一句真，那么根据这句话本身的内容来分析，他说的就是一句谎话。如果你认为他的话是谎话，那么既然说的是谎话，分析的结果他所说的就应该是真话。到底他说的是真话还是谎话，谁也说不清了。

类似的悖论早在公元前6世纪就有人提出来了，那是一位克里特岛的哲学家埃皮曼尼克斯提出的命题。他说“克里特岛的人每一句话都是谎话”。试问这句话本身是真话还是谎话如果我们认为它是真话，那么埃皮曼尼克斯本人就是克里特岛人，他的话应该是谎话。如果我们认为它是谎话，说明克里特岛人是有人讲真话的，当然这个命题就应该被否定。所以无论怎么看，都难以自圆其说。不过这个悖论与前一个的不同之处在于，它只能从肯定的前提推出否定的结果，却不能从否定的前提推出肯定的结果，因此算不上一个最典型的悖论。

悖论读来有趣，却常令科学家们感到苦恼。因为严密的科学都应该是真实可靠的。特别是数学，以严密的逻辑推理为基础，更容不得任何自相矛盾的命题或结论。例如“不在同一直线上的3点决定一个平面”的论断是正确的，那么只用两点词或同一直线上的3点或不在同一直线上的4点都不能决定一个平面。但悖论却破坏了这种严密性，它反映了数学科学并不是铁板一块，在它大厦中还存在着裂缝。

它的一些概念和原理之中还存在着矛盾和不完善、不准确之外，有待于科学家们进一步探讨和解决。数学正是在不断发现和解决矛盾的过程中发展起来的。尽管从古希腊到今天，悖论给许多人带来了快乐，人们通常把它列入“趣味数学”的范畴，但那些伟大的科学家和数学家们却总是极其严肃地对待它。事实上，现代逻辑学和集合论中的一些巨大的进展正是努力解决了经典悖论的直接结果。

悖论故事二在萨维尔村，理发师挂出一块招牌“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他“你给不给自己理发”理发师顿时无言以对。