求根公式-韦达定理两根公式

一元二次方程求根公式：

当Δb24ac≥0时，xb±b24ac122a

当Δb24ac＜0时，xb±4acb212i2ai是虚数单位

一元二次方程配方法：

ax2bxc0abc是常数

x0

xb2a2b24ac4a2

xb2a±b24ac122a

xb±b24ac122a

事实上，配方法是和公式法差不多的，不过更直观一些

英文名称：韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。这里主要讲一下一元二次方程两根之间的关系。

一元二次方程ax＾2bxc中两根X1X2有如下关系x1x2baX1X2ca韦达定理）的内容一元二次方程ax2bxc0a≠0且△b24ac≥0中设两个根为X1和X2则X1X2baX1×2ca用韦达定理判断方程的根若b²0则方程有两个不相等的实数根若b²4ac0则方程有两个相等的实数根若b²4ac≥0则方程有实数根若b²0则方程没有实数解韦达定理的推广韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。

一般的，对一个一元n次方程∑0它的根记作X1X2…Xn我们有∑Xi11An1An∑12An2An…∏Xi1nA0An其中∑是求和，∏是求积。如果一元二次方程在复数集中的根是，那么由代数基本定理可推得：任何一元n次方程在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在年才由高斯作出第一个实质性的论性。韦达定理在方程论中有着广泛的应用。x1x2的绝对值为根号下b24ac（a的绝对值）韦达定理推广的证明设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑0的n个解。

则有：1xx2……xxn0所以：1xx2……xxn∑（在打开xx1xx2……xxn时最好用乘法原理）通过系数对比可得：A（n1）An∑xiA（n2）An∑…A01nAn∏Xi所以：∑Xi11An1An∑12An2An…∏Xi1nA0An其中∑是求和，∏是求积。

1（b2）²acb²4acb²4ac0△b²4ac0方程ax²bxc0只有一个实数根，或者说有两个相等的实数根，因此，方程的两根之比为11，选B

2设x²6x20的两根为x1、x2，则x1x26，x1x22x1x2x1x11x23

1x1x11x212

根据韦达定理，可得以方程x²6x20的两根的倒数为根（二次项系数为1）的一元两次方程是：

x²3x120即2x²6x10

3有两个相等的正实数根，则△（m2n）²nm0m²4mn4n²mn0

m²5mn4n²0mnm4n0mn或者m4n所以mn1或者mn4

yax²4xa1ax²4xa2a²2a²a1ax2a²4aa1

二次函数yax²4xa1的最小值为2，则agt0，且当x2a时，y取得最小值4aa12

a²3a40a1a40a1舍去a4

x²y²4x6y130x2²y3²0x2²y3²∵x2²gt0，y3²gt0y3²lt0

∴x2²y3²0x2，y3xy238