柏拉图多面体-柏拉图多面体折纸方法

正多面体，或称柏拉图立体，指各面都是全等的正多边形且每一个顶点所接的面数都是一样的凸多面体。

命名由来

正多面体的别称柏拉图立体是因柏拉图而命名的。柏拉图的朋友特埃特图斯告诉柏拉图这些立体，柏拉图便将这些立体写在《蒂迈欧篇》内。正多面体的作法收录《几何原本》的第13卷。在命题13描述正四面体的作法，命题14就是正八面体，命题15为立方体，命题16是正二十面体，命题17是正十二面体。

判断依据

判断正多面体的依据有三条

正多面体的面由正多边形构成

正多面体的各个顶角相等

正多面体的各条棱边都相等

这三个条件都必须同时满足，否则就不是正多面体，比如五角十二面体，虽然和正十二面体一样是由十二个五角形围成的，但是由于它的各个顶角并不等价因此不是正多面体。

正多面体具有很高的对称形，每个正多面体是相似多面体所属点群中对称性最高的，对正多面体加以变化就会导致对称性下降，如正十二面体属于Ih点群，当它变化为五角十二面体的时候对称性也随之下降为Td群。

存在的正多面体

正多面体共有五个，均由古希腊人发现表中a为正多面体的边长

名称

透视图

旋转透视图

立体图

构成面

顶点

几何数据

所属点群

正四面体等边三角形464表面积

体积

二面角角度

外接球半径

内切球半径

对偶多面体正四面体

Td群

立方体正六面体正方形表面积

体积

二面角角度

外接球半径

内切球半径

对偶多面体正八面体

Oh群

正八面体等边三角形表面积

体积

二面角角度

外接球半径

内切球半径

对偶多面体立方体

Oh群

正十二面体正五边形表面积

体积

二面角角度

外接球半径

内切球半径

对偶多面体正二十面体

Ih群

正二十面体等边三角形表面积

体积

二面角角度

外接球半径

内切球半径

对偶多面体正十二面体

Ih群

编辑用途

因为正多面体的形状的骰子会较公平，所以正多面体骰子经常出现于角色扮演游戏。

正四面体、立方体和正八面体，亦会自然出现于结晶体的结构。

正多面体经过削角操作可以得到其他对称性类似的结构，比如著名的球状分子碳六十空间结构就是正十二面体经过削角操作得到的，因此可以知道，碳六十分子所属的对称性群也是与正十二面体相同的Ih群

由于正多面体和由正多面体衍生的削角正多面体大多有很好的空间堆积性质，即可以在空间中紧密堆积，因此常常选择正多面体形或者削角正多面体形的盒子作为分子模拟计算的周期边界条件

除了上面提到的正十二面体，还有一种由五边形其中四条边等长构成的多面体五角十二面体，五角十二面体是黄铁矿的一种可能的晶体结构，尽管五角十二面体是由五边形构成的，但是他并不是柏拉图体，它所属的对称性群也不是正十二面体的Ih群而是与立方体相同的Oh群。

编辑象征意义

开普勒在《宇宙的奥秘》中给太阳系的柏拉图立体模型。

柏拉图视“四古典元素”为元素，其形状如正多面体中的其中四个。

火的热令人感到尖锐和刺痛，好像小小的正四面体。

空气是用正八面体制的，可以粗略感受到，它极细小的结合体十分顺滑。

当水放到人的手上，它会自然流出，那它就应该是由很多小球所组成，好像正二十面体。

土与其他的元素相异，因为它可以被堆栈，正如立方体。

剩下没有用的正多面体正十二面体，柏拉图以不清晰的语调写“神使用正十二面体以整理整个天空旳星座。”1柏拉图的学生亚里士多德添加了第五个元素以太希腊文Αιθήρ，拉丁转写êr拉丁文，并认为天空是用此组成，但他没有将以太和正十二面体连系。

约翰内斯·开普勒依随文艺复兴建立数学对应的传统，将五个正多面体对应五个行星水星、金星、火星、木星和土星，同时它们本身亦对应了五个古典元素。

编辑正多面体只有5个的证明

所有正多面体的相关于顶点数V、棱数E和面数F的性质都可以由每个面上的边棱的数目p和每个顶点出发的棱的数目q给出。由于每条棱有两个顶点又在两个面上，我们有

另一个关系是欧拉公式

这个不显然的事实可以通过多种途径证明。在几何拓扑中，这是因为球面的欧拉示性数是2。上面三个等式可以解出VE和F

注意交换p和q会交换F和V但E不变。

正多面体只有五种这个定理是一个经典结果。下面给出了两个证明。注意这两个证明都只证明了正多面体至多有五种，这五种的存在性需要靠构造给出。

编辑几何证明

下面的几何讨论和欧几里得在几何原本中给出的证明非常相似

多面体的每个顶点至少在三个面上。

这些相交的面处的角也就是顶点发出的角的和必须小于360°。

正多面体的顶点发出的角是相等的，所以这个角必须小于360°°。

正六边形及边更多的正多边形的角大于等于120°，所以正多面体上的面只能是正三角形，正方形或正五边形。于是

正三角形每个角是60°，所以正多面体每个顶点发出的角数目小于360°60°6，也就是每个顶点只能在三、四、五个面上，这分别对应于正四面体、正八面体、正二十面体

正方形每个角是90°，所以正多面体每个顶点发出的角数目小于360°90°4，也就是每个顶点只能在三个面上，这对应于正方体

正五边形每个角是108°，所以正多面体每个顶点发出的角数目小于360°108°103，也就是每个顶点只能在三个面上，这对应于正十二面体。

编辑拓扑证明

纯粹的拓扑证明可以只利用正多面体的性质关键在于和综合上面等式，我们有

于是

由于，

注意到p和q必须大于等于3，我们可以容易地找到所有五组pq

来源正多面体

定义：如果一个多面体的所有面都是全等正多边形，所有多面角也全等，我们就说它是正多面体（柏拉图体）。

正多面体没有上限。

恩培多克勒（约公元前）对此来个兼容并包，综合了古人的这些见解，再添加“土”，就有了水、气、火、土四元素。出格垂青几何学的柏拉图（公元前）把四元素几何化，认为构成它们的原子外形划分是体现其性子的一种正多面体：火原子是最为锐利的正四面体，气原子是几近让人感受不到的正八面体，水是像小球同样滑溜的正二十面体，土是可以或许堆砌起来的立方体。

这是属于哲学学说，朴素的唯物主义。

一概述

1、立体构成的起源：

但是“构成主义”中的“构成”一词与我们要谈的“构成”有很大区别。

构成”的源流，首先是来自20世纪初在前苏联的构成主义运动。

“包豪斯”设计师20世纪著名的设计学院，从成立到被迫关闭只有短短的13年时间，却培养出了一批在各个设计领域中领先的人才，崭新的设计理论和设计教育思想是包豪斯成为现代设计地发源的。

包豪斯的艺术教育家们提出了“艺术与技术相结合”的教育理念。

构成教育自20世纪八十年代开始引入我国，成为我国所有艺术院校共用的基础课程，日本的大学不仅把构成教育作为基础课程，而且变成为一门专业，在构成领域取得了突出的成绩。

2、立体构成的概念特征及作用：

立体构成是一门研究在三维空间中如何将立体造型要素按照一定的原则组合成赋予个性的美的立体形态的学科。

整个立体构成的过程是一个分割到组合或组合到分割的过程。任何形态可以还原到点、线、面，而点、线、面又可以组合成任何形态。

立体构成的探求包括对材料形、色、质等心理效能的探求和材料强度的探求，加工工艺等物理效能的探求这样几个方面。

立体构成是对实际的空间和形体之间的关系进行研究和探讨的过程。空间的范围决定了人类活动和生存的世界，而空间却又受占据空间的形体的限制，艺术家要在空间里表述自己的设想，自然要创造空间里的形体。

立体构成中形态与形状有着本质的区别，物体中的某个形状仅是形态的无数面向中的一个面向的外廓，而形态是由无数形状构成的一个综合体。

3、立体构成与电脑辅助设计：

设计是包括立体构成在内，并考虑其它众多要素使之成为完整造型的活动，设计的领域非常广泛，它可分为商业设计、工业设计、环境设计等。而这些艺术门类又可细分为广告设计、书籍设计、包装设计、展示设计、服装设计、染织设计、室内外设计、动漫设计等专业门类。以上的专业无一例外，现在都把计算机技术作为工具设计的重要手段，这无疑具有划时代的意义。

是较通用的图形设计软件，主要用于二维三维坐标空间，能精确地设计各种几何形体，目前最新版本是：

是应用最广泛的三维动画软件，并配有丰富的材质库与各种光源，环境效果，设计者可以设计出实体动态影像效果。目前最新版本是60。

是经典的三维动画软件，它为三维动画领域提供了一整套特效解决方案，可以逼真的模拟现实生活中的场景。它标志着三维软件又迈入了一个崭新的阶段，目前最新版本是5。

构成要素

1、点的特征；

点型是形态中最初的元素，也是形态世界最小的表现极限，它在空间中呈飘浮状态，有长短，宽窄及运动方向，它是由各元素相互对应，相互比较而特定的，如随着点与块的缩小与扩大，它们之间互相的转换，对形态上造型语言的不同会在心理上产生不同的感受，如角状点型，有强烈的冲击力，曲状点型则有柔和的飘浮感。其表现形式无限多，或方或圆或角或其他任何形状，还可有实心与空心的变化。

2、线的特征：

线存在于点的移动轨迹，面的边界以及面与面的交界或面的断、切、截取处，具有丰富的形状和形态，并能形成强烈的运动感。

线从形态上可分为直线（平线，重直线，斜线和折线等）和曲线（孤线，螺旋线，抛物线，双曲线及自由线）两大表。

A、直线

垂直线

斜线的

B、曲线

几何曲线能表达饱满，有弹性、严谨，理智，明确的现代感觉，同时也有机械的冷漠感，自由曲线是一种自然的、优美的、跳跃的线型，能表达丰阔、圆阔、柔和、富有人情味的感觉，同时也有强烈的活动感和流动感，例如大自然中闪电形成的自由曲线。

3、面的特征：

面作为构成空间的基础之一具有强烈的方向感，面的不同组合方式可以构成千变万化的空间形态。

面在空间形态上可分为平面和曲面两种形态，平面有规律平面和不规律平面，曲面有规律曲面和不规律曲面。

圆形总是封闭的，具有饱满的，肯定的和统一的效果，能表现流动、运动、和谐、柔美的感觉

不规则面的基本形是指一些毫无规律的自由形态。

4、块的特征：

块体的基本特征是占据三维空间，块体可以由面围合而成，也可以由面运动而成，大而厚的块体能产生深厚、稳定的感觉，小而薄的块体，能产生轻盈飘浮的感觉，块体可分为几何平面体，几何曲面体，自由体和自由曲面体等。

几何平面体包括正三角锥体、正立方体、长方体和其它的几何平面所构成的多面立体，具有简练大方、庄重、严肃、稳定的特点。

线材的构成

硬线材的构成

（一）连续构成

选择有一定硬度的金属丝或其它线性材料，做构成时不限定范围，以连续的线做自由构成，使其产生连续的空间效果。表现对象可以是抽象的，也可以是具象的。应注意的是：

（二）垒积构造

把硬线材料一层层堆积起来，相互间没有固定的连接点，可以任意改变的立体构成，叫垒积构成。材料之间之靠接触面间的摩擦力维持形态。特点是易于承受向下压力，若横向受力则很容易倒塌。

（三）线层结构

将硬线材沿一定方向，按层次有序排列而成的具有不同节奏和韵律的空间立体形态为线层结构。线层的构成形式有两种：

（四）框架结构

以同样粗细单位的线材，通过粘接、焊接、铆接等方式结合成框架基本形，再以此框架为基础进行空间组合，即为框架结构。

框架的基本形态可以是立方体、三角柱形、锥形、多边柱形，也可以是曲线形、圆形等基本形。

框架结构构成是指用相同的立体线框按一定的秩序排列或交错垒积构成。其构成形势可产生丰富的节奏和韵律。

这种框架除重复形势外，还可有位移变化、结构变化及穿插变化等多种组合方式。

二、软线材的构成

软线材包括两种类型。一种是以有一定韧性的板材剪裁出来的线（如纸版、铜板等），这类线由于自身重量，在一定的支撑下可以形成立体构成；另一类是软纤维（如毛线、棉线等）。

软线构成的立体，总的来说，轻巧有较强的紧张感。自然界中典型的软线形态就是蜘蛛网。

软线材构成常用硬线材作为引拉软线的基体，即框架。构成框架的硬线材我们称之为导线。框架的基本形态可以是立方体、三角柱形、锥形、多边柱形，也可以是曲线形，圆形等。构成方法是将软质线的两端固定在具有一定构成的框架上。框架上的接线点，其间距可以等距也可渐变，线的方向可以垂直连接，也可斜向错拉连接，形成网状形态。框架造型控制总体，并起引导构成气氛的作用。

（一）线群结构

（二）线织面结构

（三）自垂结构

（四）编结构成

立体感觉

肌理感

1肌理的定义：

2肌理的组织形式

1）肌理与形态

2）肌理与光感

3肌理的作用

2空间感

4）物理空间与心里空间

5）空间深度的表现

A透视渐变

B遮挡方法

C采用错视手段

6）空间的特性

3量感

1）量感的概念

2）创造生长感

3）创造速度感

4）创造一体感

5）张力的塑造

4错视觉

1平面图形的错视

立体空间错觉

3运动错觉

5色彩：

1、物体的本色利用

2、经人为处理的色的利用

运用醒目的原色

（1）色块区分形态的各部分结构

（2）在主体形态与附加形态间用色分清主次关系

（3）用色彩的轻重感加强形态的稳定性

（4）注重材料的色彩和质感的双重效果，不同形态所用材料有光泽与无光泽之

分。

（5）形态的设色与环境相互影响

在主体构成设色上一般要求色相数目少，以保证视觉上对形态的清晰度

面型立体构成

一、面型的语言

立体构成中的面大多是有限范围的面，独立于周围的空间，大多有一定厚度。其形状表现出一种轻薄的延伸感，侧面形象近似于线材、而在面的连续处却很像块材的表面，所以面材运用的巧妙可产生线、面、块的多重特点，给造型赋予轻快的感觉。

二、而型的立体构成

1层而排出

1）面型的变化。2）排列方式。3构造技巧。4方向变化。5位置变化。

2插结构造

1）单元形主体插接

两片纸切割组合构成

2）表面形插接

3）自由形插接

4）

3可展开的主体形态

（1）几何多面体

1、柏拉图式多面体

2、阿基米德式多面体

3、多面体的变异

（2）柱体

1、柱形变化2、柱头变化3、棱线变化4、柱面变化

4曲面主体翻转构成

1折叠造型

2切割造型

3切割折叠翻转造型

1）直面切割与折叠

2）曲面切割翻转

5薄壳构造

6小结：

7练习：

用各种材料进行层积构成，发掘出意想不到的可能性，并将这种可能性用理性的方式加以表达。

块的立体构成块型的语言

块材是立体造型最基本的表现形式它是具有立体感空间感和量感的实体体现出封闭性重量感稳重感与力度感块材基本构成方式是切割和积累在现实创作中常以这两种形式结合追求形体的刚柔曲直、长短、变化的快慢、缓急、空间的虚实对比等创造出你想的立体空间来

二、块型立体构成

1单体研究

1基本几何形体：

2形体的加工

1变形：A扭曲：、B膨胀：

C内凹：、D倾斜：、E盘绕：

2变形应该注意两点：

a整体动势：、b线形与棱角：

3减法创造

a分裂：、b破坏：、c退层：、d切割：、e分割移动：

4加法创造

1堆砌组合、

2接触组合、

3贯穿组合、

4嵌入组合、

5填充与包裹组合

2块型的集聚构形

1集合

1成对2多数3无限

2组合

三小结：

四练习：

了解掌握各种材料的特性和表现性，因地制宜地采用各种手段，发掘材质的美感，可做一系列自然、人工材料的练习，也可做一些实验性的练习，多观察多思考，给自己较大的发挥空间。

材料：

立体构成必须涉及到材料的选择与应用，材料的参与一般有两种途径，一是先做出设计方案，再按方案要求物色相应的材料，另一种是先从材料入手，根据材料的属性，语言寻求表达的内容，最终制定出造型设计方案。

一：自然材料（木材，石材，黏土等）。

自然材料给人以质朴、亲切、温馨、舒适的感觉，有极强的亲和力。

1）木材

温和轻便，易于加工，加工手法有锯割、刨削、雕刻、弯曲、结合等。

2）石材

坚固持久，常用材料。有寿山石，青田石，大理石，花岗岩石等。

二：工业材料

（金属、无机非金属、有机、复合等多种类型、功能性材料）。

人工复合材料是多学科，各种新技术和新工艺交叉融合的产物。

1）纸材料

质地温和，价格低廉，易于加工，有丰富的表现力和可塑性。

2）金属材料

坚固持久，品种丰富，加工技术多样，视觉质感丰富，在立体构成中被广泛使用。

3）玻璃材料

透明光滑，坚硬脆弱，有较强的耐热，抗腐蚀性能。用玻璃材料构成的空间有着无限扩展的视觉感，是开放性的理想材料。

4）塑料（通用塑材，工程塑材）

三：综合材料

综合材料的使用可充分应用材料之间的对比、和谐关系，增加材质的效应。但必须把握所选材料的性能、特点，使每一种材料都能表现出自身的属性和信息，传达出作品的感受和意义。

四：小结：

五：练习：

综合材料的使用可充分应用材料之间的对比、和谐关系，增加材质的效应。但必须把握所选材料的性能、特点，使每一种材料都能表现出自身的属性和信息，传达出作品的感受和意义。