抛物线-抛物线公式大全

解：

分析：（1）根据，可得到C点的坐标，将B、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．

（2）根据（1）得到的抛物线的解析式，可求得顶点D的坐标，易求得∠CBO∠ADP45°；

当P点在x轴上方时，若∠ACB∠APD，则△APD∽△ACB，可先求出AB、BC、AD的长，然后根据相似三角形得到的比例线段求出DP的长，从而确定P点的坐标．

当P点在x轴下方时（设为P′），点P′正好和上面所得P点关于x轴对称，由此得解．

（3）此题需要考虑的情况较多，根据A、C的坐标，易知，而∠AOC∠ANM90°，若以A、M、N为顶点的三角形与△AOC相似，则：AN3MN或，可设出点M的横坐标，根据抛物线的解析式表示出它的纵坐标，然后表示出AN、MN的长，进而根据上面两种情况中不同的等量关系求得点M的坐标．（要注意的是，在表示AN、MN的长时，要根据点M的不同位置分类讨论）

具体解析过程见图

抛物线公式

一般式yaX、b、c为常数，a≠0）

顶点式）2k（a、h、k为常数，a≠0）

交点式（两根式）：ya（xx1）（xx2）（a≠0）

其中是抛物线yaX、b、c为常数，a≠0）与x轴交点坐标，即方程aX2bXc0的两实数根。

对于y²＝2pxp＞0有焦点坐标p2，0，离心率e＝1，准线方程x＝p2，焦半径公式PF＝x0＋p2。点P和抛物线关系1P在抛物线内y0²＜2px02P在抛物线上，y0²＝2px03P在抛物线外，y0²＞2px0。焦点弦有关公式，设AB为抛物线焦点弦，Ax1，y1，Bx2，y2，弦中点Mx0，y0，1x1x2＝p²42y1y2＝p23弦长l＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2√x1x2＝p，即当x1＝x2时通径最短为2p。未完

椭圆的面积公式

Sπ圆周率×a×b其中ab分别是椭圆的长半轴，短半轴的长或Sπ圆周率×A×B4其中AB分别是椭圆的长轴，短轴的长

椭圆的周长公式

椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。椭圆周长L的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如L∫0π²dt≈2π√a²b²2椭圆近似周长其中a为椭圆长半轴，e为离心率椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则

椭圆的准线方程

x±a2c

椭圆的离心率公式

eca1因为2agt2c。离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近于圆形。椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线如焦点（c0）与准线xa2c的距离为b2c

椭圆焦半径公式

焦点在x轴上：PF1F2分别为左右焦点椭圆过右焦点的半径过左焦点的半径焦点在y轴上：PF1F2分别为上下焦点椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点AB之间的距离，数值2b2a

点与椭圆位置关系

点M（x0，y0）椭圆x2a2y2b21点在圆内：x02a2y02b2lt1点在圆上：x02a2y02b21点在圆外：x02a2y02b2gt1

直线与椭圆位置关系

①x2a2y2b21②由①②可推出x2a2（kxm）2b21相切△0相离△lt0无交点相交△gt0可利用弦长公式：Ax1y1Bx2y2ABd√1k2x1x2√1k2x1x22√11k2y1y2√11k2y1y22

椭圆的斜率公式

过椭圆上x2a2y2b21上一点（x，y）的切线斜率为b2Xa2y椭圆焦点三角形面积公式若∠F1PF2θ，则Sb2tan（θ2）

编辑本段椭圆参数方程的应用

求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解xa×cosβ，yb×sinβa为长轴长的一半相关性质由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥截线。

例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候停止，那么会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。

设两点为F1、F2对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2则PF1PQ1、PF2PQ2，所以PF1PF2Q1Q2由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆例：已知椭圆C：x2a2y2b21（0）的离心率为√63，短轴一个端点到右焦点的距离为√31．求椭圆C的方程2．直线l：yx1与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上一点，求△PAB面积的最大值3．在（2）的基础上求△AOB的面积一分析短轴的端点到左右焦点的距离和为2a，端点到左右焦点的距离相等椭圆的定义），可知a√3，又ca√63代入得c√2，b√a2c21方程是x23y211，二要求面积，显然以ab作为三角形的底边，联立x23y211，yx1解得x10y11x215y205利用弦长公式有√1k2x2x1中括号表示绝对值）弦长3√22对于p点面积最大，它到弦的距离应最大，假设已经找到p到弦的距离最大，过p做弦的平行线，可以发现这个平行线是椭圆的切线是才会最大，这个切线和弦平行故斜率和弦的斜率，设yxm利用判别式等于0，求得m22结合图形得m2x15y05三直线方程xy10利用点到直线的距离公式求的√22面积12√223√。

双曲线

定义：我们把平面内与两个定点F1F2的距离的差的绝对值等于一个常数的轨迹称为双曲线。定义1：

平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离1）的点的轨迹称为双曲线。定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双曲线。定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程0满足以下条件时，其图像为双曲线。1a、b、c不都是零2b0在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：x2a2y2b21上述的四个定义是等价的。

双曲线的简单几何性质

1、轨迹上一点的取值范围：│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）。2、对称性：关于坐标轴和原点对称。3、顶点：Aa0，Aa0。同时AA叫做双曲线的实轴且│AA│2aB0b，B0b。同时BB叫做双曲线的虚轴且│BB│2b4、渐近线：焦点在x轴：y±bax焦点在y轴：y±abx圆锥曲线ρepθ当egt1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与x轴夹角。

令θ0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ1e令θ0，得出ρep1exρcosθep1e令θPI，得出ρep1exρcosθep1e这两个x是双曲线定点的横坐标。求出它们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）xep1eep1e2（注意化简一下）直线ρcosθep1eep1e2是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。

将这条直线顺时针旋转PI1e角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’则θ’θPI1e则θθ’PI1e代入上式：ρcosθ’PI1eep1eep1e2即：ρ1eθ’ep1eep1e2现在可以用θ取代式中的θ’了得到方程：ρ1eθep1eep1e2现证明双曲线x2a2yb21上的点在渐近线中设Mxy是双曲线在第一象限的点，则yba√x2a因为x2a2ltx2所以yba√x2a√x2bxa即所以，双曲线在第一象限内的点都在直线下方根据对称性第二、三、四象限亦如此5、离心率：第一定义：eca且e∈1，∞第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│与点P到定直线相应准线的距离d的比等于双曲线的离心率ed点│PF│d线（点P到定直线相应准线的距离）e6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点Pxy到焦点距离）左焦半径：r│exa│右焦半径：r│exa│7、等轴双曲线一双曲线的实轴与虚轴长相等即：2a2b且e√2这时渐近线方程为：y±x（无论焦点在x轴还是y轴）8、共轭双曲线双曲线S的实轴是双曲线S的虚轴且双曲线S的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S与双曲线S为共轭双曲线。

几何表达：S：x2a2y2b21S：y2b2x2a21特点：（1）共渐近线（2）焦距相等（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于19、准线：焦点在x轴上：x±a2c焦点在y轴上：y±a2c10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）d2b2a11、过焦点的弦长公式：d2pe1e2cos2θ12、弦长公式：d√1k2x1x2√1k2x1x22√11k2y1y2√11k2y1y22推导如下：由直线的斜率公式：ky1y2x1x2得y1y2kx1x2或x1x2y1y2k分别代入两点间的距离公式：AB√x1x2²y1y2²稍加整理即得：ABx1x2√1k²或ABy1y2√11k²·双曲线的标准公式与反比例函数X2a2Y2b21agt0bgt0而反比例函数的标准型是≠0但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的因为xyc的对称轴是而X2a2Y2b21的对称轴是x轴，y轴所以应该旋转45度设旋转的角度为a（a≠0顺时针）a为双曲线渐进线的倾斜角则有取aπ4则X2Yππππ42√22x√22y2√22x√22y24√22x√22y2xy而xyc所以X22cY22c1cgt0Y22cX22c1clt0由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式。

编辑本段·双曲线焦点三角形面积公式

若∠F1PF2θ则S△F1PF2b2cot（θ2或S△F1PF2b2tanθ2·例：已知F1、F2为双曲线C：x2y21的左右焦点，点P在C上，∠F1PF260°，则P到x轴的距离为多少？解：由双曲线焦点三角形面积公式得S△F1PF2b2cot（θ2√3设P到x轴的距离为h，则S△F1PF212h2√2h√62

编辑本段·双曲线参数方程

双曲线的参数方程θ正割θa为实半轴长，b为虚半轴长，θ为参数。