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鸡兔同笼问题几种不同的解法0点

英国数学教育家贝克浩斯在研究“问题解决”时首先提到的是中国古算题凪其中包括鸡兔同笼问题、100个和尚买100个馒头问题等処解这些问题需要想象刞解者在其情景中有明确的且力所能及的目的凮但缺少现成的方法达到此目的凕因此常常作为夜航船中或纳凉赏月时的一种试智比知式考问的备办学问凌一代一代传下来刕还传到世界各地则鸡兔问题传到日本叫龟鹤问题刃明代作家张岱曾说：“天下学问净惟夜航船中最难对付”刑又到纳凉的季节刖老公公们要用这些问题来试试儿孙辈的学问怎样有位小朋友听了老公公提出的问题凔觉得难度不大刎便满怀信心地对老公公说：慢点凹让我打开灯凲拿纸和笔刋老公公讲不用笔就不可以算吗这一下刉许多小朋友都被难住了刞显然老公公解这些难题的技巧肯定不同凡响列那么老公公是怎样解这些问题的呢我们先举个例子说说凯。

一、鸡兔同笼问题

例1笼中有若干只鸡和兔凖它们共有50个头和140只脚刌问鸡兔各有多少只

解法1假设法

假设一个未知数是已知的刃比如假定50个头全是兔刄则共有脚（4×50）200（只）创这与题中已知140只不符刑多出60（只）凿多的原因是鸡当兔后每只鸡多算了2只脚切所以鸡的只数是（60÷2）30（只）凿则兔的只数为（＝）20（只）刍

这种解法刓思路清晰凼但较复杂别不便操作刊能不能形象地画个图呢让我们试试刏

解法2图形法

从图中看的面积＝4×50＝200（只脚）凬比实际多出的面积＝＝60（只脚）刟60÷230（只鸡）刄＝20（只兔）

解法2比解法1高级凉算理是一样的刖这里答案是图上算出的凬显然这两种解法都要用纸和笔凌不用纸和笔肯定是用口诀或易记的公式凶这是老公公的传家宝凾

解法3公式法

老公公讲：只要用哨子一吹凷并喊一声口令：“全体肃立”凛这时每只鸡呈金鸡独立之状刊每只兔呈玉兔拜月状凴着地的脚数之和有（140÷2＝）70（只）凨其中鸡的头数与脚数相等刉由于每只兔的脚比头数多1凎因此兔的头数为（70－50＝）20（个）刉即兔有20只凎则鸡有（50－20＝）30（只）凐这个故事实际上老公公用了如下的公式创

脚数和÷2头数和兔子数刔

小孙子们听了兴趣为之大增则纷纷叫老公公再出几道题刧老公公又出了

（1）30个头凬80只脚……刨（兔10刕鸡20）刌

（2）100只脚刣40个头……凐（兔10凉鸡30）划

（3）80个头刑200只脚……凘（兔20刣鸡60）

小孙子们个个都愉快地答出来了凴

这个公式简洁好用凳它是祖代传下来的还是老公公想出来的呢我们中华文化博大精深分这两种可能性都是有的刋这个公式是碰巧做对还是符合算理的呢这是十分重要的凰数学家高斯说过：“数学中许多方法与定理是靠归纳发现的则证明只是补行的手续而已刌”现在我们就来补行这个手续凑

2鸡头鸡脚刈

4兔头兔脚凞

得：兔脚鸡脚2鸡头4兔头

2（鸡头2兔头）删

这就证明了老公公归纳的公式凧

说到鸡兔同笼问题则常常大家精神就紧张起来刀以为是难题来了凇现在掌握了规律其实不难凫所以凡事都应去摸索规律减照规律办事凉

鸡兔同笼问题在民间是当故事讲的凢有没有实际价值呢我们再来看下面的问题刜

二、邮票问题

例2买3角与5角的邮票共24张凋总值96元刦问两种邮票各买了几张

解这道题当然可以用假设法和图形法凾但用什么样的公式呢美国数学教育家C·波利亚说：“……不论初等数学、高等数学中的发现……特别是不能没有类比凴”用类比很容易发现这个公式是：邮

设3角邮票为A1张删价值A2角；

5角邮票为B1张刈价值B2角刉

说明数量关系与鸡兔同笼问题相一致凰

又3A1A2凴5B1B2刄

得：A2＋B2＝3A15B1凊

这就与例1的公式相类似刣很容易将这个公式翻译成语言陈述刈大家试

（24－12＝）12（张）冻

如果你认为这个公式不太好记分就不妨用图来解列

（24×5－96）÷212（张、3角）

＝12

所以解题方法的选用常常是根据具体情况而定的刎

再试试

（1）6角与8角的邮票共18张刞总价124元凶问两种邮票各几张（10凬8）

（2）3角与8角的邮票共100张判总价50元凖问两种邮票各几张（60刁40）

三、植树问题

例3一次植树活动凨规定大树每人种2棵删小树每人种4棵凓全班50人种树140棵凎问种这两种树的各有多少人

这道题可用例1的公式很快解得种大树的有30人刡种小树的有20人分

四、运输（工作）问题

例4有小卡车50辆凓大卡车每辆运4吨凛小卡车每辆运2吨凫共运140吨化肥刂问大小卡车各几辆

难道不是题目看完答案就出来了吗

五、农药问题

例5甲种农药每千克兑水20千克凹乙种农药每千克兑水40千克刀现为了提高药效凹根据农科所意见凤甲乙两种农药混合使用凣已知两种农药共50千克凼要配药水140千克凵问甲、乙两种农药各需多少千克

用公式解很简单（30删20）几如果将这个公式交给农民凛那么他们配起农药来就既方便又正确分你能想出这个公式是什么吗

还会遇到许多许多的问题凫它们的数量关系（应用题的本质）与鸡兔同笼问题相一致刔都可以用鸡兔同笼问题的三种方法来解函这些问题我们将它们统称为鸡兔同笼问题刡

相传大禹治水到黄河凒发现一只神龟凋背上驮了一张图叫河图（洛书）分（左图）凮用阿拉伯数字表示就是右图创图中三条竖线、三条横线、二条对角线共八条线上三个数的和都是15凧这样的图是怎样造出来的呢其法一时失传了刀于是有人用它来占卜、相风水利进入迷信状态刎后来数学家发现其原理是二进制刔说明二进制是中国人最先发明的刏近代根据二进制发明了计算机刟所以有些基础科学的研究成果一时看起来无多大用途凷以后渐渐会发现有大用途刟鸡兔同笼问题不也是这样吗因此我们一定要重视基础科学的学习和研究

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